【作図】3次関数の変曲点を取り戻せ

3次関数とは3次式で表される関数のことで、3次関数のグラフには変曲点があります。つまり、曲線の「山」になっている部分と「谷」になっている部分の境目の点のことです。

f:id:corollary2525:20220620214221p:plain

さらに、3次関数は変曲点に関して点対称という性質をもっています。

f:id:corollary2525:20220620222416g:plain

いい性質もってますね。

それではまた！

…ん？なんだこの手紙。

f:id:corollary2525:20220620231109p:plain

な、なんだってー！

盗まれた変曲点
作図ルールの確認
作図の方針を決める
直線と3次関数のグラフの交点
変曲点の作図
- Step1の作図
- Step2の作図
まとめ
補足（怪盗の反省）

盗まれた変曲点

うわあー！

何者かによって、3次関数のグラフの変曲点周辺を盗まれてしまいました。

しかも $x$ 軸と $y$ 軸まで盗んでますね。

そして何より、パワポ初心者の怪盗にやられたのが悔しい。どうにかして見返したいところです。

…そうだ！

定規とコンパスを用いて変曲点を作図してやりましょう！

作図ルールの確認

3次関数のグラフが部分的に用意されているという特殊な状況のため、ルールの確認をしておきます。

まず、3次関数のグラフ上の点をとったり、3次関数と直線および円の交点をとることはOKとします。

しかし、以下の行為は禁止とします。

根拠なしに極値をとる点をとる
根拠なしに $x$ 軸や $y$ 軸に垂直な直線を引く
根拠なしに3次関数のグラフに接線（および接する円）を引く

f:id:corollary2525:20220621013918p:plain

3次関数のグラフ上の点は自由にとってもよいですが、その点で極大および極小（山頂および谷底）になるかどうかは分からないものとします。必要であれば作図してください。

また、 $x$ 軸や $y$ 軸を盗まれているため、根拠なく $x$ 軸や $y$ 軸に垂直な直線を引くことも禁止します。接線や外接円についても（根拠なしに引くのは）禁止します。

以上のルールの下、3次関数の変曲点の作図を考えてみましょう。

…とは言うものの、何から手を付けたらいいのか分かりませんね。何より軸がないのが心細い。

闇雲に作図する前に、作図の方針でも考えますか。

作図の方針を決める

突然ですが、作図の前にちょっと計算をします。

3次関数を $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\;\;(a\neq0)$ とおきます（上手く平行移動を施せば $Ax^3+Bx$ の形にできるので、これを使っても大丈夫です）。このとき、 $f''(x)=6ax+2b$ なので、変曲点の $x$ 座標 $x_0$ は
\[
x_0=-\frac{b}{3a}
\]となります。よって、 $x$ 座標が $x_0$ となる点を2つ作図すれば、 $x$ 軸に垂直で変曲点を通る直線が得られます。

f:id:corollary2525:20220621021233p:plain

この直線を作図するまでの工程をStep1としましょう。

Step2は変曲点を通る直線をもう一本引くことです。

3次関数の点対称性を利用して、次の図のようにStep1で作った直線と等距離にある点を作図すればよさそうです。

f:id:corollary2525:20220621022602p:plain

（以上をヒントに作図を考えてみたい方がいれば、ぜひここでスクロールを止めて考えてみてください！）

では、まずはStep1をがんばるぞー

…いや、 $x_0=-\frac{b}{3a}$ ってどこよ。

直線と3次関数のグラフの交点

$a$ , $b$ は私が勝手に与えた定数であり、そもそも原点の位置や1の大きさが分からないため、 $x_0=-\frac{b}{3a}$ の位置なんて分かりません。

このままずっと考えてるのもアレなんで、ひとまず交点が3つになるように直線を引いてみます。

f:id:corollary2525:20220620233711p:plain

交点の $x$ 座標を小さい順に $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ としました*1。

仮にその直線の方程式を $y=sx+t$ とすると、 $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ は $ax^3+bx^2+cx+d=sx+t$ 、つまり
\[
ax^3+bx^2+(c-s)x+d-t=0
\]の解になります。

ここで注目したいのは「 $x^3$ と $x^2$ の係数」です。直線の方程式は1次式なので、どんな直線を引いても2次以上の項の係数には影響を与えません。これは作図をする上で使えそうな値です。

すると、解と係数の関係により
\begin{align*}
&\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}=3x_0\\
&x_0=\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}
\end{align*}となります。これはうまい！

これにより、 $x$ 座標が $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ の平均値となる点を作図をすればよいことになります。これなら作図ができそうですね！

変曲点の作図

それでは作図を始めていきましょう。

Step1の作図

まずは3次関数と3点で交わるように直線を引きます。

f:id:corollary2525:20220620235726p:plain

次に、コンパスで $\textrm{AB}$ の長さを測り、図のように $\textrm{AB}=\textrm{CD}$ となる点を作図します。

f:id:corollary2525:20220621002247p:plain

ここで、 $\textrm{AD}$ の長さを（Aを基準として）1/3倍にした点こそがStep1で作図したい点になります。よって、線分 $\textrm{AD}$ を $1:2$ に内分する点を作図します。

まず適当に点 $\textrm{P}_1$ をとって直線 $\textrm{AP}_1$ を引きます。

f:id:corollary2525:20220621002855p:plain

線分 $\textrm{AP}_1$ の長さをコンパスで測り、ピッピッとやって $\textrm{P}_2$ ， $\textrm{P}_3$ を作図します。

f:id:corollary2525:20220621003343p:plain

直線 $\textrm{DP}_3$ を引き、これに平行で $\textrm{P}_1$ を通る直線を引き、 $\textrm{AB}$ との交点を $\textrm{E}$ とおきます（平行線の作図の跡は省略しました）。

f:id:corollary2525:20220621003921p:plain

点 $\textrm{E}$ は線分 $\textrm{AD}$ を $1:2$ に内分する点で、 $x$ 座標は変曲点の $x$ 座標と同じです！

補足　気になる人のために、点 $\textrm{E}$ の $x$ 座標は変曲点の $x$ 座標と同じである証明を書いておきます。まず、 $\alpha'=0$ ， $\beta'=\beta-\alpha$ ， $\gamma'=\gamma-\alpha$ とおく（点 $\textrm{A}$ を原点だと思う）と、点 $\textrm{D}$ の $x$ 座標は $\beta'+\gamma'$ で、点 $\textrm{E}$ の $x$ 座標は
\[
\frac{\beta'+\gamma'}{3}+\alpha=\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}
\]となります。

そして、再度3次関数との交点が3つになるような直線を引き直して、同じ手順で「 $x$ 座標が変曲点と同じ点」を作図します。