#今日の推し関数 はこちら。
こちらの関数、「周期関数の和は周期関数である」の反例となっております。
今回は$\sqrt{2}$を選びましたが、お好きな無理数で成り立ちます。
よかったら証明を考えてみてください。
なお、関数$f$が周期$T>0$の周期関数であるとは、すべての実数$x$で
\[
f(x+T)=f(x)
\]をみたすことをいいます。
それでは、そろそろ想定している証明を紹介します。
あ、その前にヒントを一つ。
三角関数の公式を使うんですけれど、その場で作って思い出す人が多い（？）あの公式です。
そろそろ、証明いきますよ？
証明
$f$は周期$T>0$の周期関数と仮定すると
\begin{align*}
\sin (x+T) +\sin (\alpha (x+T))&=\sin x +\sin \alpha x\\
\sin (x+T) - \sin x&=-\big(\sin (\alpha x+\alpha T)-\sin \alpha x\big)\\
\cos\left(\frac{2x+T}{2}\right)\sin \frac{T}{2}&=-\cos \left(\alpha \left(\frac{2x+T}{2}\right)\right)\sin \frac{\alpha T}{2}
\end{align*}
\begin{align*}
\cos\dfrac{\alpha\pi}{2}\sin\dfrac{\alpha T}{2}=0,\\
\cos\dfrac{\pi}{2\alpha}\sin\dfrac{T}{2}=0.
\end{align*}$\alpha$は無理数なので$\cos\frac{\alpha\pi}{2}\neq0$，$\cos\frac{\pi}{2\alpha}\neq0$．よって$\sin\frac{\alpha T}{2}=\sin\frac{T}{2}=0$となるから，$\alpha T=2n\pi$，$T=2m\pi$と表せる（$n$，$m\neq0$は整数）．よって$\alpha=\dfrac{n}{m}$となるのでこれは$\alpha$は無理数であることに矛盾する．■
はい、和積の公式を使って証明してみました。
もっといい証明があるよ！というのがあればぜひコメントしてください！
今日はこの辺で！
#今日の推し関数
— コロちゃんぬ (@corollary2525) 2022年12月16日
周期関数の和は周期関数とは限らないことを教えてくれるかわぃい関数。
今回は√2を選びましたが、無理数なら何でもOKです。
皆さんなら何を選びます？そして、どう証明します？ pic.twitter.com/pAI2g7YyX1
thank Q for rEaDing.φ(・▽・ )
