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多重ゼータ値の和に関する定理の解説・最新の話題・証明を興味深く読ませていただきました!
なんか面白い問題ないかなぁ~(問題集をペラペラめくりながら)
ん?これは…
(2) (1)を用いて1からまでの自然数の和の公式\begin{equation*}1+2+3+\cdots+n=\dfrac{1}{2}n(n+1)\end{equation*}を証明しなさい。
(数Bの知識を使わずに)積分を使って自然数の和の公式を導けるのか。なるほど。
解答
(1)\begin{align*}
\int_{x-1}^x\!(t+a)dt&=\left[\dfrac{t^2}{2}+at\right]_{x-1}^x\\
&=x-\dfrac{1}{2}+a
\end{align*}よって,.
(2) (1)より
\begin{align*}
1&=\int_0^1\!\left(t+\dfrac{1}{2}\right)dt\\
2&=\int_1^2\!\left(t+\dfrac{1}{2}\right)dt\\
3&=\int_2^3\!\left(t+\dfrac{1}{2}\right)dt\\
&\qquad\qquad\vdots\\
n&=\int_{n-1}^n\!\left(t+\dfrac{1}{2}\right)dt
\end{align*}なので
\begin{align*}
1+2+3+\cdots+n&=\int_0^n\!\left(t+\dfrac{1}{2}\right)dt\\
&=\left[\dfrac{t^2}{2}+\dfrac{t}{2}\right]_0^n\\
&=\dfrac{1}{2}n(n+1)
\end{align*}
定積分の性質を上手く利用した証明、望遠鏡和に通じるものがありますなぁ。気持ちいい~
ん?ちょっと待てよ。もしかしてこれ…
2乗の和も同様に求められるのでは!?
\begin{equation*}\int_{x-1}^x\!(t^2+at+b)dt=x^2\end{equation*}を満たす,の値を求める。
(Step2) 自然数の2乗の和は
\begin{equation*}
1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\int_0^n\!(t^2+at+b)dt
\end{equation*}
\begin{align*}
\int_{x-1}^x\!(t^2+at+b)dt&=\left[\dfrac{t^3}{3}+\dfrac{at^2}{2}+bt\right]_{x-1}^x\\
&=\dfrac{3x^2-3x+1}{3}+\dfrac{a(2x-1)}{2}+b\\
&=x^2+(a-1)x-\dfrac{a}{2}+b+\dfrac{1}{3}.
\end{align*}
\begin{align*}
1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2&=\int_0^n\!\left(t^2+t+\dfrac{1}{6}\right)dt\\
&=\dfrac{n^3}{3}+\dfrac{n^2}{2}+\dfrac{n}{6}\\
&=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\end{align*}
これを一般化すれば自然数のべき乗の和が求まりそう。
\begin{equation*}
f_k(x):=x^k+a_{k - 1}x^{k - 1}+a_{k-2}x^{k-2}+\cdots+a_0
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int_{x-1}^x\!f_k(t)dt=x^k
\end{equation*}を満たすの値が求まる*2。
(Step2) 自然数のk乗の和は
\begin{equation*}
1^k+2^k+3^k+\cdots+n^k=\int_0^n\!f_k(t)dt
\end{equation*}
カリカリカリ…
ふう、この方法でまで計算してみたら
\begin{align*}
f_1(x)&=x+\dfrac{1}{2}\\
f_2(x)&=x^2+x+\dfrac{1}{6}\\
f_3(x)&=x^3+\dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x\\
f_4(x)&=x^4+2x^3+x^2-\dfrac{1}{30}\\
f_5(x)&=x^5+\dfrac{5}{2}x^4+\dfrac{5}{3}x^3-\dfrac{1}{6}x
\end{align*}になったぞ。これらをからまで積分して整理してみますか。
カリカリカリ…
\begin{alignat*}{5}
&1&{}+{}&2&{}+{}&3&{}+{}&\cdots&{}+{}&n&{}={}&\dfrac{1}{2}n(n+1)\\
&1^2&{}+{}&2^2&{}+{}&3^2&{}+{}&\cdots&{}+{}&n^2&{}={}&\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\
&1^3&{}+{}&2^3&{}+{}&3^3&{}+{}&\cdots&{}+{}&n^3&{}={}&\dfrac{1}{4}n^2(n+1)^2\\
&1^4&{}+{}&2^4&{}+{}&3^4&{}+{}&\cdots&{}+{}&n^4&{}={}&\dfrac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)\\
&1^5&{}+{}&2^5&{}+{}&3^5&{}+{}&\cdots&{}+{}&n^5&{}={}&\dfrac{1}{12}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)
\end{alignat*}
でもなぁ、を明示的に表示したわけではないから、の正体がよく分からないな。
って何なんだろう?個人的に ど こ か で 見たことがある気がするんだけどなあ。
あ、もしかして…
これ、インテジャーズにあったやつだ!
integers.hatenablog.com
ふむふむ、どうやらの正体はBernoulli(ベルヌーイ)多項式っぽい。
この定義によれば、,…となってるから絶対これだ!
えーっと、つまるところ次の等式をチェックすればの正体がBernoulli多項式であることが分かりますかね。
\int_{x-1}^x\!B_n(t)\:dt=x^n
\end{equation*}
とりあえず母関数を積分しますか。
\begin{align*}
\int_{x-1}^x\!F(t,x)\:dx &=\left[\frac{e^{(1+x)t}}{e^t-1}\right]_{x-1}^x\\
&=e^{xt}\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}t^n
\end{align*}お、ということはBernoulli多項式の定義より
\begin{equation*}
\int_{x-1}^x\!B_n(t)\:dt=x^n
\end{equation*}が言えるのか(シグマと積分の順序交換はデリケートに扱うべきですが)。意外とあっさり。
ところで、この命題は有名なんですかね。簡単だしたぶん有名だろうけど、検索検索っ
はい、ベルヌーイ多項式 - Wikipediaに載ってた。
でも、面白かったー!
thank Q for rEaDing.φ(・▽・ )
その他の参考文献
- 数研通信25号「自然数の累乗の和を定積分で表示する一考察」