KdV方程式の孤立波解の具体表示

用水路の波を観察したことはありますか？小学生の私は田んぼの用水路に片手を突っ込んで水を押し、波を作って追いかけたことがあります。

f:id:corollary2525:20170920193230p:plain — 写真のような田んぼでおたまじゃくしをよく捕まえました

その波は等速ですーっと進んでいましたが、波と一緒に歩くには少し遅かった記憶があります。

ところで、用水路のような浅い水の波の運動はKdV方程式で記述できます。1895年、コルトヴェーグ(D. Korteweg)とド・フリース(G. de Vries)が定式化したのでKdVと呼ばれています。この記事ではKdV方程式の解の一つである孤立波解を求めていきます。

必要な知識とNotation

微分積分の基本的な計算（合成関数の微分、積の微分、置換積分）
2変数関数 $u(t,x)$ の $t$ ， $x$ に関する微分をそれぞれ $\partial_t u$ ， $\partial_x u$ と表し、 $n$ 階微分は $\partial_x^n u$ で表します。
そ○○○○○○関数（ネタバレ防止のため伏字にしました）

高校ではあまりやらない積分が1カ所ありますが、 $2\phi(x)\phi'(x)=(\phi(x)^2)'$ がすぐわかる程度の計算力があれば読めるかも？

KdV方程式の紹介

次の偏微分方程式をKdV方程式と呼ぶ:\[\partial_t u+\partial_x^3 u+6u\partial_x u=0\qquad(t,x)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}.\tag{KdV}\label{k}\]

ここで、 $u=u(t,x)$ は2変数実数値関数で、 $t$ 秒後の位置 $x$ での波の高さを表しています。係数「6」のときがKdVの標準形と言われています。6にこだわる必要はないのですが、この後の計算で上手く消えてくれる都合のいいやつです。

補足水深などに依存する実定数 $a$ ， $b$ を含む形
\[\partial_t u+a\partial_x^3 u+bu\partial_x u=0\]がKdV方程式の原形ですが、\[v(t,x):=\frac{b}{6\sqrt[3]{a}}u(t,\sqrt[3]{a}x)\]とおいてこれに代入すれば\eqref{k}に変形することができます。ちなみに、一般化されたKdV方程式\[\partial_t u+\partial_x^3 u+\partial_x(u^p)=0\qquad(p>1)\]に合わせたければ、係数「2」がいいですね。

KdV方程式には孤立波解という解があります。

\eqref{k}のうち，\[u(t,x)=\phi(x-ct)\]という形をした解のことを孤立波解(Solitary wave solution)という．ここで， $\phi$ は1変数実数値関数で，次の性質をみたすことを仮定する:

　 $\color{blue}{\text{(i)}}$ $\phi(x),\; \phi'(x),\; \phi''(x)\to 0\;(x\to\pm\infty)$
　 $\color{blue}{\text{(ii)}}$ すべての $x\in\mathbb{R}$ に対して $\phi(x)>0$
　 $\color{blue}{\text{(iii)}}$ $\phi'(0)=0$ ．

孤立波解は $\phi(x)$ という形の波が速度 $c>0$ で正の方向に進むような解を表しています。

孤立波解の導出

それでは孤立波解を求めてみましょう。まず、 $u(t,x)=\phi(x-ct)$ を\eqref{k}の解とすると\[\partial_t u=-c\phi'(x-ct),\quad\partial_x^3 u=\phi'''(x-ct),\quad\partial_x u=\phi'(x-ct)\]であるから、 $\phi$ は\[-c\phi'(x)+\phi'''(x)+6\phi(x)\phi'(x)=0\]をみたせばよいことが分かります。以後、「 $(x)$ 」を省略して\[-c\phi'+\phi'''+6\phi\phi'=0\]と表すことにします。この式は、\[(-c\phi+\phi''+3\phi^2)'=0\]と変形できるので、 $x$ から $\infty$ まで積分すると\[-c\phi+\phi''+3\phi^2=0\]が得られます（ $\color{blue}{\text{(i)}}$ の $\phi(x),\; \phi''(x)\to 0\;(x\to\infty)$ を用いました）。

そして、この式に $\phi'$ を掛けてみると…
\begin{align*}
-c\phi\phi'+\phi'\phi''+3\phi^2\phi'&=0\\
\left(-\frac{c}{2}\phi^2+\frac{1}{2}(\phi')^2+\phi^3\right)'&=0
\end{align*}となり、 $\phi(x)$ と $\phi'(x)$ は無限遠では0に行くので\[-\frac{c}{2}\phi^2+\frac{1}{2}(\phi')^2+\phi^3=0\]を得ます。 $(\phi')^2\ge0$ ， $\phi>0$ より $1-\frac{2}{c}\phi\ge0$ が従うので\[\phi'=\pm\sqrt{c}\phi\sqrt{1-\frac{2}{c}\phi}\]と表せて、いわゆる変数分離形になりました。また、 $\color{blue}{\text{(ii)}}$ ， $\color{blue}{\text{(iii)}}$ より $\phi(0)>0$ ， $\phi'(0)=0$ なので $\phi(0)=\frac{c}{2}$ だと分かります。

両辺を $\phi\sqrt{1-\frac{2}{c}\phi}$ で割り、0から $x$ まで積分し、いっぱい計算します。
\begin{align*}
\pm\sqrt{c}x&=\int_0^x\dfrac{\phi'(x)}{\phi(x)\sqrt{1-\frac{2}{c}\phi(x)}}dx &&\\
&=\int_{\phi(0)}^{\phi(x)}\frac{1}{y\sqrt{1-\frac{2}{c}y}}dy &&(y=\phi(x)\text{と置換})\\
&=\int_{1/\phi(0)}^{1/\phi(x)}\frac{1}{z^{-1}\sqrt{1-\frac{2}{c}z^{-1}}}\cdot\frac{-1}{z^2}dz &&(y=z^{-1}\text{と置換})\\
&=-\int_{2/c}^{1/\phi(x)}\frac{1}{\sqrt{z^2-\frac{2}{c}z}}dz &&(\text{ちょっと計算})\\
&=-\int_{2/c}^{1/\phi(x)}\frac{1}{\sqrt{(z-\frac{1}{c})^2-\frac{1}{c^2}}}dz &&(\text{平方完成})\\
&=-\int_{1/c}^{1/\phi(x)-1/c}\frac{1}{\sqrt{z^2-\frac{1}{c^2}}}dz &&(z-\frac{1}{c}\text{を置換})\\
&=-\left[\log\left(z+\sqrt{z^2-\frac{1}{c^2}}\right)\right]_{1/c}^{1/\phi(x)-1/c} &&(\text{ドンッ！})\\
&=-\log\left(\dfrac{c}{\phi(x)}-1+\sqrt{\left(\frac{c}{\phi(x)}-1\right)^2-1}\right) &&(\text{計算})
\end{align*}

補足途中、ドンッ！と公式\[\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\log(x+\sqrt{x^2-a^2})\]を使いました（積分定数は省略）。これを知らなくても、 $x=a\cosh y$ （ $\cosh y:=\frac{e^y+e^{-y}}{2}$ ）と双曲線関数に置換することで（高校生でも）求まります。\[\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx\]を $x=a\sin\theta$ で置換して計算した覚えがある人は関連して覚えておくといいかも。

よって、
\begin{align}
e^{\pm\sqrt{c}x} &=\dfrac{c}{\phi(x)}-1+\sqrt{\left(\frac{c}{\phi(x)}-1\right)^2-1}\\
e^{\pm\sqrt{c}x}-\left(\dfrac{c}{\phi(x)}-1\right) &=\sqrt{\left(\frac{c}{\phi(x)}-1\right)^2-1}\\
\end{align}となります。両辺を2乗して、仕上げに入ります。
\begin{align}
e^{\pm2\sqrt{c}x}-2e^{\pm\sqrt{c}x}\left(\dfrac{c}{\phi(x)}-1\right) &=-1\\
2e^{\pm\sqrt{c}x}\left(\dfrac{c}{\phi(x)}-1\right) &=e^{\pm2\sqrt{c}x}+1\\
\dfrac{c}{\phi(x)}-1 &=\dfrac{e^{\sqrt{c}x}+e^{-\sqrt{c}x}}{2}\\
\dfrac{c}{\phi(x)} &=\cos\!\text{h}(\sqrt{c}x)+1\\
\dfrac{c}{\phi(x)} &=2\cos\!\text{h}^2\left(\dfrac{\sqrt{c}}{2}x\right)\\
\phi(x) &= \dfrac{c}{2}\operatorname{sech}^2\left(\frac{\sqrt{c}}{2}x\right)
\end{align}おー！孤立波の正体は $\operatorname{sech}^2 x$ だったのかー！

念のため書いておきますが、 $\operatorname{sech}x:=\dfrac{1}{\cosh x}=\dfrac{2}{e^x+e^{-x}}$ です。また、途中で双曲線関数の半角の公式を使いました。あと、 $e^{\pm2\sqrt{c}x}$ という一抹の不安がいつの間にか解消される所が好き。

まとめ

定理

$c>0$ とする．\[-c\phi'(x)+\phi'''(x)+6\phi(x)\phi'(x)=0\]のうち， $\color{blue}{\text{(i)}}$ ， $\color{blue}{\text{(ii)}}$ ， $\color{blue}{\text{(iii)}}$ をみたすものは\[\phi(x)=\dfrac{c}{2}\operatorname{sech}^2\left(\frac{\sqrt{c}}{2}x\right)\]で与えられ，\[u(t,x)=\phi(x-ct)=\dfrac{c}{2}\operatorname{sech}^2\left(\frac{\sqrt{c}}{2}(x-ct)\right)\]は\eqref{k}の解である．

孤立波解をグラフにするとこのようになります:

f:id:corollary2525:20170920010339g:plain — c=2のときの孤立波

うん、何かそれっぽい。また、式の形から、高い波は波の進行速度が速いことが分かります。

f:id:corollary2525:20170920011624g:plain — c=6のときの孤立波

こちらのリンクで孤立波を確認できます。
Solitary wave solution of KdV equation

ちなみに、1次元の非線形シュレディンガー方程式\[i\partial_t u+\partial_x^2 u=-|u|^2 u\]の定在波解\[u(t,x)=e^{i\omega t}\phi(x)\]や孤立波解\[u(t,x)=e^{i\omega t}\phi(x-ct)\]も今回やった計算と同様にして求められます。また、どんな $\omega$ ， $c$ に対しても孤立波は「安定」なのか？といった解析学の研究分野があります。