日本では政治のみならず、多くの業界で「総選挙」が行われていますね。私は投票するほど興味はないんですけど、結果だけはつい知りたくなってしまいます。そこでふと思ったんですけど、
を行ったら、どんな結果が起こりえるでしょうか?自然数みずから自分の順位を決める投票をするのは少し変ですが、『若手声優が選ぶ声優総選挙』という特番もあったので、いいんじゃないでしょうか?
まずはルールの設定から
ここで記号を導入します。を自然数さんの投票先を表すことにします。例えば、\begin{equation*}f(1)=3\end{equation*}ならば、「1さんは3さんに投票」を表します。これで「自然数が選ぶ自然数総選挙」は「自然数全体から自然数への関数(数列)」で表せるようになりました。やったー!
それでは、「自然数が選ぶ自然数総選挙」をしたら何が起きるのか?面白そうなものを簡単に紹介します。
全員に1票ずつ
平和な結果(?)です。これは自然数全員が自分自身に投票すれば起こり得ますね。つまり、\begin{equation*}f(n)=n\end{equation*}と投票すればよいです。今のはつまらない投票ですが、ちょっと手を加えて
\begin{equation*}f(n)=n+(-1)^{n+1}\end{equation*}という投票だったとしても全員1票ずつ入ります。試しに計算してみると分かりますが、
\begin{align*}
f(1)=2,\qquad& f(2)=1,\\
f(3)=4,\qquad& f(4)=3,\\
f(5)=6,\qquad& f(6)=5,\ldots
\end{align*}といった具合に投票されています。一つの結果に対して、投票方法は一通りとは限らないので気をつけてください。
一人だけ0票、他1票
無限に投票者がいるのに、誰にも投票されなかった人、つらそう。これは例えば\begin{equation*}f(n)=n+1\end{equation*}という投票を考えると、1さんが0票、他は1票入ります。特に意味は無いですが例えば20さんが0票になるパターンは
\begin{equation*}f(n)=\begin{cases}
n & (n<20)\\
n+1 & (n\geqq20)
\end{cases}\end{equation*}などがあります。
一人だけ無限票、他0票
†圧倒的勝利†
これは例えば全員が1さんに投票したときに起こります。つまり、\begin{equation*}f(n)=1\end{equation*}です。特に意味は無いですが例えば20さんを無限票にしたいなら\begin{equation*}f(n)=20\end{equation*}でよいでしょう。
全員に「2票」ずつ
平和な結果(?)パート2です。しかし、今度は全員に2票入ります!この辺りから有権者が無限人ならではの現象が垣間見ることができます。
\begin{equation*}f(n)=\begin{cases}
\frac{n+1}{2} & (n\text{は奇数のとき})\\
\frac{n}{2} & (n\text{は偶数のとき})
\end{cases}\end{equation*}という投票を考えてみましょう。としても構いません*2。実際に計算すると
\begin{align*}
f(1)=1,\qquad& f(2)=1,\\
f(3)=2,\qquad& f(4)=2,\\
f(5)=3,\qquad& f(6)=3,\ldots
\end{align*}となります。「1さんは、1自身と2さんの2票」「2さんは、3さんと4さんの2票」「3さんは、5さんと6さんの2票」であることが分かります。要するに、「さんに投票するのはさんとさんの2票」であるようにしました。ちなみに、5000兆さんには9999兆9999億9999万9999さんと1京さんが投票してくれます。これで全員に丁度2票入ることが分かりました。
少し一般化して、全員に票ずつ入るようにするにはどうすればいいでしょうか?場合分けで定義することもできますが、ceilを使えばとすればいいですね。とすれば、全員に5000兆票入ります!わあ、私も5000兆票欲しい!
1位が存在しない
徳光「自然数が選ぶ自然数総選挙、第1位ッ………!いません!」
立候補者が無限なのでこういうこともあります。つまり、獲得票数の最大値が存在しないパターンです。ひとまず次の例をご覧ください。
まず、自然数たちを次のようにグループ分けします:
\begin{equation*}
1\color{red}{\mid} 2,3\color{red}{\mid} 4,5,6\color{red}{\mid} 7,8,9,10\color{red}{\mid} 11,12,13,14,15\color{red}{\mid} 16,\ldots
\end{equation*}
\begin{align*}
f(1)&=1\\
f(2)=f(3)&=2\\
f(4)=f(5)=f(6)&=3\\
f(7)=f(8)=f(9)=f(10)&=4\\
&\vdots
\end{align*}といった感じです。1さんは1票、2さんは2票、3さんは3票獲得しています。5000兆さんは
\begin{equation*}
\frac{(5000\text{兆}-1)5000\text{兆}}{2} < m \leqq \frac{5000\text{兆}(5000\text{兆}+1)}{2}
\end{equation*}
全員に「無限票」ずつ
無限人の立候補者が無限票獲得…平和な結果ですね(震え声)。こんな不思議な現象も確かに起きるのです。早速、全員に無限票入るように有権者を誘導します。
先ほどと同じように、自然数たちをグループ分けします:
\begin{equation*}
1\color{red}{\mid} 2,3\color{red}{\mid} 4,5,6\color{red}{\mid} 7,8,9,10\color{red}{\mid} 11,12,13,14,15\color{red}{\mid} 16,\ldots
\end{equation*}
\begin{array}{c|cc|ccc|cccc|ccccc|l}
1 &2, &3 &4, &5, &6 &7, &8, &9, &10 &11, &12, &13, &14, &15 &16,\ldots\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow &\downarrow &\downarrow & \downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow & \downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow & \downarrow\\
1 &1, &2 &1, &2, &3 &1, &2, &3, &4 &1, &2, &3, &4, &5 &1,\ldots
\end{array}
有限で止めれば1さんが多く票を集めることになります。しかし、無限に続ければ、どんなに巨大な自然数さんもいずれ投票してくれる人が「無限に」現れます。
一人だけ0票、他無限票
†圧倒的敗北†
1さんだけ0票にしたいならば、先ほどの投票先にすべて1を足せばよいですね。
\begin{array}{c|cc|ccc|cccc|ccccc|l}
1 &2, &3 &4, &5, &6 &7, &8, &9, &10 &11, &12, &13, &14, &15 &16,\ldots\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow &\downarrow &\downarrow & \downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow & \downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow & \downarrow\\
2 &2, &3 &2, &3, &4 &2, &3, &4, &5 &2, &3, &4, &5, &6 &2,\ldots
\end{array}
\begin{array}{c|cc|ccc|cccc|ccccc|l}
1 &2, &3 &4, &5, &6 &7, &8, &9, &10 &11, &12, &13, &14, &15 &16,\ldots\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow &\downarrow &\downarrow & \downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow & \downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow & \downarrow\\
\color{red}{2} &\color{red}{2}, &2 &\color{red}{2}, &2, &3 &\color{red}{2}, &2, &3, &4 &\color{red}{2}, &2, &3, &4, &5 &\color{red}{2},\ldots
\end{array}
\begin{equation*}\delta_{i,j}=
\begin{cases}
1&(i=j)\\
0&(i\neq j)
\end{cases}.\end{equation*}の部分は基本的に0ですが,のときにだけになります.つまり,書き換えると\begin{equation*}f_m(n)=\begin{cases}
m+1&(f(n)=m)\\
f(n)&(f(n)\neq m)
\end{cases}\end{equation*}となります.したがって,に何を代入してもであること,すなわちさんが0票であることが分かります.
まとめ
最近あったAKB48選抜総選挙にあやかって、有権者と立候補者が無限にいたときに起きる面白い現象をいくつか紹介しました。「無限」に関連する面白い話はたくさんありますが、「ヒルベルトの無限ホテル」は有名です。
ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス - Wikipedia
今回の話はこれを少し参考にして書きました。これからも何かしら無限に関連する記事を書けたらいいなぁと思っています。無限、楽しいよ!数学、楽しいよ!
そういえば数学のブログを開設して1年経ったんですけど、今回の記事で8つ目なんですよね。「オススメ記事で打線組んだ」がギリギリできないのがくやしい。でも、記事の数に関しては全然気にしていません。無限の寿命があれば、毎日投稿だろうが年8本だろうが数は同じですから…。
thank Q for rEaDing.φ(・▽・ )