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乃木坂46に同じ誕生日のペア?確率は?近似値は?テイラー展開で近似する方法

こんにちは!



皆さんはアイドルに興味ありますか???



私は正直そんなに詳しい訳ではないのですが…(;´・ω・)



ネットニュース等で知っているアイドルが卒業すると聞くと



何だかショックですよね。



さて、今日はアイドルの中でも乃木坂46について書きたいと思います!



突然ですが、乃木坂46の中に同じ誕生日のペアがいるかどうか知っていますか?



1年は365日です。40人程度のグループで同じ誕生日がいるかどうか、気になりませんか???



今日はその辺について調べてみたいと思います!!!






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乃木坂46の中に同じ誕生日のペアはいる?AKB48は?

乃木坂46の公式サイトによると、2018年9月24日の時点で40人のメンバーがいます*1



そして、メンバー紹介(生年月日順)で実際に同じ誕生日のペアがいるかどうかを調べてみました。



そしたらなんと、


生田絵梨花 1997年1月22日
新内眞衣 1992年1月22日

秋元真夏 1993年8月20日
白石麻衣 1992年8月20日


の2ペアが見つかりました!



また、AKB48には2018年9月24日の時点で

 チームA 12人
 チームK 13人
 チームB 15人

の3チームだけで40人います*2



こちらも同様に、AKB48公式サイト | メンバーのページで、同じ誕生日のペアがいるかどうかを調べてみると…!


藤田奈那 1996年12月28日 チームK
大家志津香 1991年12月28日 チームB

湯本亜美 1997年10月3日 チームK
高橋朱里 1997年10月3日 チームB


こちらも2ペア見つかりました!



これって偶然なのでしょうか!?



もっと詳しく調べてみましょう!


同じ誕生日のペアが存在する確率は?2ペアの場合も気になる!

同じ誕生日が1ペアいる確率は?

まずは「同じ誕生日が1ペアいる確率」がどれくらいなのか考えましょう(^-^)



これは「誕生日のパラドックス(Birthday paradox)」「誕生日問題(Birthday problem)」と呼ばれる有名な問題ですね。結論と証明をささっと述べておきます。



命題
1年は365日で,誕生日になる確率はどの日も\dfrac{1}{365}とする.n人の中に同じ誕生日のペアが存在する確率をp(n)とおくと
\[
p(n)=1-\dfrac{{}_{365}\mathrm{P}_{n}}{365^n}.
\]

証明 n人の誕生日は全部で365^n通りある.そのうちn人全員の誕生日が異なる場合の数は,365日の中から異なるn日を選んでn人に割り振ればよいので{}_{365}\mathrm{P}_{n}通りである.したがって,n人全員の誕生日が異なる確率は\dfrac{{}_{365}\mathrm{P}_{n}}{365^n}であるから,求める確率は
\[
1-\dfrac{{}_{365}\mathrm{P}_{n}}{365^n}
\]となる.■

そして,nに具体的な数を代入することで次の結果が得られます :

  • p(23)\approx 0.507(23人の中に同じ誕生日のペアが存在する確率は約50%)
  • p(40)\approx 0.891(40人の中に同じ誕生日のペアが存在する確率は約90%)

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ということで、約40人のアイドルが集まれば、その中に同じ誕生日のペアがいる確率は約90%であることが分かりました!



かなり高確率ですね!


同じ誕生日が2ペアいる確率は?

それでは、2人で1ペアとして、同じ誕生日が(少なくとも)2ペア存在する確率はどのくらいあるのでしょうか?



ネットで調べてみたのですが…残念ながら見つかりませんでした(-_-;)



難しい問題なんですかね…ちょっと考えてみましょう。



n人を同じ誕生日のグループに分け,各グループの人数を並べて表記したとき,同じ誕生日が2ペア作れないのは次の3通り :
(i) (\underbrace{1,\ldots,1}_{n\text{人}})
(ii) (2,\underbrace{1,\ldots,1}_{n-2\text{人}})
(iii) (3,\underbrace{1,\ldots,1}_{n-3\text{人}})

(i) のとき
n人全員の誕生日が異なる場合なので,確率は\dfrac{{}_{365}\mathrm{P}_{n}}{365^n}

(ii) のとき
まず,2人組の選び方は{}_n\mathrm{C}_2通り.2人組を1人とみなして(n-1)人の誕生日が異なる場合は{}_{365}\mathrm{P}_{n-1}通り.よって確率は\dfrac{{}_n\mathrm{C}_2\cdot{}_{365}\mathrm{P}_{n-1}}{365^n}

(iii) のとき
(ii) と同様に確率を求めると\dfrac{{}_n\mathrm{C}_3\cdot{}_{365}\mathrm{P}_{n-2}}{365^n}

以上より,求める確率は(i),(ii),(iii)で得られた確率を1から引けばよい.

命題
n人の中に同じ誕生日のペアが(少なくとも)2ペア存在する確率をp_2(n)とおくと
\[p_2(n)=1-\dfrac{{}_{365}\mathrm{P}_{n}+{}_n\mathrm{C}_2\cdot{}_{365}\mathrm{P}_{n-1}+{}_n\mathrm{C}_3\cdot{}_{365}\mathrm{P}_{n-2}}{365^n}.\]
補足 最初に言及すべきでしたが、n\geqq4の場合で考えています。ですが、この式に形式的にn=2, 3を代入すると0になります。4人いなければそもそも2ペア作れないのでn=2, 3の場合も正しい値であることが分かります。



それではnに具体的な数を代入して計算してみましょう。

  • p_2(36)\approx 0.501(36人の中に同じ誕生日のペアが2ペア存在する確率は約50%)
  • p_2(40)\approx 0.621(40人の中に同じ誕生日のペアが2ペア存在する確率は約62%)
  • p_2(54)\approx 0.905(54人の中に同じ誕生日のペアが2ペア存在する確率は約90%)

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したがって、約40人のアイドルが集まれば、その中に同じ誕生日のペアが2ペアいる確率は約62%であることが分かりました!



そこそこ起こり得る出来事でしたね。笑


近似値をテイラー展開で求めてみた!

ついでに小ネタを一つご紹介します。

n人の誕生日がすべて異なる確率
\[q(n):=\dfrac{{}_{365}\mathrm{P}_{n}}{365^n}\]の近似値を求めましょう。

q(n)=\dfrac{365}{365}\cdot\dfrac{364}{365}\cdot\cdots\cdot\dfrac{365-(n-1)}{365}の両辺に\logをとると
\begin{align}
\log q(n) &=\log\dfrac{365}{365}+\log\dfrac{364}{365}+\cdots+\log\dfrac{365-(n-1)}{365}\\
&=\sum_{k=1}^n\log\left(1-\dfrac{k - 1}{365}\right)\\
&\approx\sum_{k=1}^n\left(-\dfrac{k - 1}{365}\right)=-\frac{n(n-1)}{2\cdot365}.
\end{align}

ただし、途中で次の近似を用いました :

命題
|x|\ll 1のとき,\log(1+x)\approx xf:id:corollary2525:20180924175317p:plain
これは,\log(1+x)の原点におけるテイラー展開
\[\log (1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots\]において,2次以上の項を無視することで得られます.

したがって、求める確率の近似値は

\[q(n)\approx e^{-n(n-1)/730}\]

で求まることが分かります!

実際、n=40で比較してみると
\begin{align}
\dfrac{{}_{365}\mathrm{P}_{40}}{365^{40}} &\approx 0.108\\
e^{-40\cdot39/730} &\approx 0.118
\end{align}であり,0.01のズレしかありません。



また、今までに求めたp(n)p_2(n)を、この近似によって得られた値と比較したものがこちらです :

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同じ誕生日が少なくとも1ペア存在する場合(左)と2ペア存在する場合(右)


まとめ

いかがだったでしょうか?

乃木坂46のメンバーの誕生日の話題になったら、ぜひこの話をしてみてください!



thank Q for rEaDing.φ(・▽・ )


独り言

たまに見る「話題の人物の経歴・恋人・年収などをネットで調べてみた系ブロガー」のマネをして書いてみたのですが、何となく信憑性が失われた感じがするので、このスタイルでは二度と書きません。

*1:7月16日、斎藤ちはるさんと相楽伊織さんは千葉・幕張メッセで行われた握手会をもって乃木坂46から卒業しました。

*2:チーム8からの兼任メンバーを除いています。また、「チーム4」「チーム8」も正規メンバーですが、人数が多すぎるので割愛しました。