Corollaryは必然に。

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トマエ関数のちょっとした応用例

前回(1カ月前)トマエ関数の性質と私のちょっとした考察を紹介しました。
corollary2525.hatenablog.com

もう一度書いておくと、トマエ関数とは、実数x\in\mathbb{R}に対して

\[T(x)=
\begin{cases}
\frac{1}{q} & (x=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}\;,p, q\;\text{は互いに素な整数},q>0)\\
0 & (x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})
\end{cases}\]と定義される実数値関数です。有理数で不連続、無理数で連続という面白い性質を持っています。

今回はトマエ関数のちょっとした応用例のご紹介です。

ほとんど至る所連続関数の合成

連続関数f,gがあったとき、その合成g\circ fが連続になることは基礎の基礎です。

では、ほとんど至る所連続な関数f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}があったとき,その合成g\circ fほとんど至る所連続になるでしょうか?

「ほとんど至る所」について

「『ほとんど』ってなんやねん」
「なんだその曖昧な言葉」
と思った方のための簡単な解説です。不要な方はこのセクションをすっとばして上記の問題を考えてみてください。

ざっくり説明すると、「成り立たない点の集まりが“スカスカ”」のとき「ほとんど至る所成り立つ」と言います。「関数fはほとんど至る所連続である」と言ったら、fの不連続点が“スカスカ”であることを表します。

例えば、
\[f(x)=\begin{cases}
0 & (x=\frac{2n+1}{2}\pi\;,n\in\mathbb{Z})\\
\tan x & (\text{otherwise})
\end{cases}\]を考えると、不連続点の集合は\{\pm\frac{1}{2}\pi,\;\pm\frac{3}{2}\pi,\;\pm\frac{5}{2}\pi,\ldots\}です。

f:id:corollary2525:20170519182423p:plain

不連続点は“スカスカ”ですね?よって、この関数はほとんど至る所連続と言えます。

また、ディリクレ関数
\[D(x)=
\begin{cases}
1 & (x\in\mathbb{Q})\\
0 & (x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})
\end{cases}\]の場合は不連続点が\mathbb{R}全体で、“スカスカ”ではないので「ほとんど至る所連続『ではない』」です*1

「“スカスカ”ってなんやねん」と思った方のためのもう少し踏み込んだ説明です。
数直線上の空間では「長さ」が定義できます。同じように、平面上では「面積」を考えることができます。「長さ」「面積」のような大きさを表す概念を一般化したものを「測度」といいます。特に、\mathbb{R}(実数全体の集合を表す記号ですが数直線をイメージするといいでしょう)における「長さ」を「1次元ルベーグ測度」と言います。

1次元ルベーグ測度で説明すると、「成り立たない点の集まりの測度が0(“長さ”が0)」のとき「ほとんど至る所成り立つ」と言います。2次元ルベーグ測度を考えるのであれば、「成り立たない点の集まりの“面積”が0」のことを表します。

厳密な定義も書いておきましょう(ルベーグ測度の定義は省略):

定義(ほとんど至る所)

\mu\mathbb{R}ルベーグ測度とする.
x\in\mathbb{R}に関する命題P(x)ほとんど至る所で(\text{a.e.}*2)成り立つ\overset{def.}{\iff}P(x)が偽である点全体の集合をN=\{x\in\mathbb{R}\mid \lnot P(x)\}と表したとき,\underset{\text{“長さ”が}0}{\underline{\mu(N)=0}}.

P(x)の例として「fは点x\in\mathbb{R}で連続である」や「f(x)=g(x)」などがあります。ということで、「fはほとんど至る所連続である」とは、fの不連続点全体の集合の測度が0(\mathbb{R}で言えば“長さ”が0)であることを言います。


さてさて

問題に戻ります。

問題
f,\;g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}ほとんど至る所連続のとき,g\circ fほとんど至る所連続か?

もし正しいと思うなら、fgの不連続点がスカスカであることを使って、g\circ fの不連続点もスカスカであることを証明すればよいですね。…スカスカであることの証明って何や!?ざっくりした理解では証明は困難なので、厳密な定義の重要性が出てきますね。

N:=\{x\in\mathbb{R}\mid g\circ f\text{は}x\text{で不連続}\}とおいたとき、\mu(N)=0を証明すればよいですね。仮定からA:=\{x\in\mathbb{R}\mid f\text{は}x\text{で不連続}\}B:=\{x\in\mathbb{R}\mid g\text{は}x\text{で不連続}\}はどちらもルベーグ測度が0なので、これををうまく使って証明したいところです。

正しくないと思うなら反例を探しましょう。例えば、不連続点が2個の関数と3個の関数を合成したら、多くても5個になりそうな気がします。このままではスカスカです。反例を探すのであれば、少なくとも不連続点が無限個の関数を考える必要がありそうです。また、g\circ fの不連続点をディリクレ関数のようにしたいので、不連続点が密集している関数を考えるとよさそうですね。そんな関数、ありましたっけ…?

トマエ関数の応用例

はい、トマエ関数を使うと反例をつくれます。トマエ関数は有理数の点で不連続で、無理数の点で連続でした。有理数の集合はスカスカ*3なので、トマエ関数はほとんど至る所連続なんです。

肝心の反例ですが、トマエ関数を
\[f(x)=
\begin{cases}
\frac{1}{q} & (x=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}\;,p, q\;\text{は互いに素な整数},q>0)\\
0 & (x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})
\end{cases}\]とおき、
\[g(x)=\begin{cases}
\frac{1}{x} & (x\neq 0)\\
0 & (x=0)
\end{cases}\]とします。どちらもほとんど至る所連続ですが、合成すると
\[g\circ f(x)=
\begin{cases} q & (x=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q},\;p, q\;\text{は互いに素な整数},q>0)\\
0 & (x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})
\end{cases}\]となりますね(例えば、有理数\frac{p}{q}\overset{f}{\mapsto}\frac{1}{q}\overset{g}{\mapsto}qと写されます)。
これはすべての点で不連続です。つまり、g\circ fは「ほとんど至る所連続『ではない』」のです。グラフを見ると、有理数の点が1以上離れた所へ行ってしまうので連続とは言えなさそうなことが分かると思います:
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g\circ fがすべての点で不連続であることの証明もしておきましょう。記号の簡略化のためh:=g\circ fとおきます。

証明
x無理数とすると,有理数の稠密性によりr_n\in\mathbb{Q}かつr_n\to xとなる点列\{r_n\}_{n\in\mathbb{N}}が存在する.ここで,h(r_n)\ge 1であるから\{h(r_n)\}_{n\in\mathbb{N}}0に収束しない.よって,h無理数で不連続.

x有理数とすると,a_n:=x+\frac{\sqrt{2}}{n}無理数であり,a_n\to xかつh(a_n)=0\neq h(x).よって,h有理数でも不連続.■


ということで、f,\;g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}がほとんど至る所連続だからといって,g\circ fはほとんど至る所連続とは限らないことが判明しました。なるほどねー。

ほとんど至る所好き

全く関係ない話ですけど、「あなたのことがほとんど至る所好き」という言葉、素敵じゃないですか?もちろん「あなたのことが全部好き」も嬉しいんですけど、ありきたりな言葉ですし、自分のことちゃんと見てるのかな?って思ってしまいます。一方、「ほとんど至る所」を付け加えた場合はどうでしょう。「あなたのことがほとんど至る所好き(嫌いな所もあるけどな)」と嫌味に聞こえたあなたはまだ「ほとんど至る所」の意味を理解していません。「あなたのことがほとんど至る所好き」は、嫌な所は好きな所に比べれば目に見えないゴミと同然と言っているのです。相手の欠点を理解しつつも、全く気にしない。なんて優しい言葉なのでしょう。私のことを「あなたのことがほとんど至る所好き」と言ってくれる人、ほとんど至る所で募集中です。※ただし、ほとんど至る所かわいい人に……って私は何を書いているのだ。

thank Q for rEaDing.φ(・▽・ )

*1:「ほとんど至る所連続『ではない』」と「ほとんど至る所『連続ではない』」の言葉の違いに気を付けてください。

*2:almost everywhereの頭文字をとって「a.e.」と表すことも多いです。例えば「ほとんど至る所f=g」は「f=g\quad\text{a.e.}」と書きます。成り立つ範囲を明示したければ「\text{a.e.}\;x\in I」「\text{a.e. on}\;I」のように書きます。almost allも同じ意味で使われ、「a.a.」と略記します。

*3:これは一点からなる集合のルベーグ測度が0であること、有理数全体の集合が可算であること、測度の完全加法性によってすぐに証明できます。