Corollaryは必然に。

このブログは「コロちゃんぬ」の提供でお送りします

逆ピタゴラス数って知ってるかしら…

「おうち数学」をしていたら,ふと気になった問題が出てきました。

ピタゴラス数の問題
\begin{equation}
\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{z^2}
\end{equation}をみたす自然数の組(x,y,z)はあるか?あればすべて求めよ.

ピタゴラス数の逆数バージョンなので,\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{z^2}をみたす自然数の組(x,y,z)ピタゴラスと呼ぶことにします。

まず,そもそも逆ピタゴラス数は存在するのでしょうか?フェルマーの最終定理みたいに「解ありませーん」ということはありえますからね。

おうち数学の一環として,考えてみようと思います(もちろん読者の皆さんもここでストップして解を求めていただいても構いません)



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自然数解をひとつ探そう

まずは解を一つ見つけることを目標に頑張ってみます。


うーん,当てずっぽうに代入する前に,とりあえず通分してみましょうか。
\begin{equation}
\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{x^2+y^2}{(xy)^2}
\end{equation}これが\frac{1}{z^2}の形になってくれればいいのですが,もしxyが互いに素だと約分ができませんねえ…(後でちゃんと証明します)

そこで,d=\gcd(x,y)とおき,x=dx_1y=dy_1とおいてもう一度通分チャレンジ。
\begin{equation}
\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{x_1^2+y_1^2}{d^2(x_1y_1)^2}
\end{equation}これが約分できれば,もっと欲を言えば,x_1^2+y_1^2=d^2だったらうれしいなぁと思うわけです。それをみたす自然数(x_1,y_1,d)って…………?


ピタゴラスじゃん!!!Oh My GCD!!!


例えば(x_1,y_1,d)=(3,4,5)とおけばx=15y=20となって,
\begin{equation}
\frac{1}{15^2}+\frac{1}{20^2}=\frac{3^2+4^2}{5^2\cdot3^2\cdot4^2}=\frac{1}{12^2}
\end{equation}となるから逆ピタゴラス(x,y,z)=(15,20,12)が見つかりました。もっと言うと,ピタゴラス数から逆ピタゴラス数を作れることが分かりました!ということで,結果をまとめます。

命題1
(a,b,c)ピタゴラス数のとき,(bc,ac,ab)は逆ピタゴラス数である.すなわち,
\begin{equation}\frac{1}{(bc)^2}+\frac{1}{(ac)^2}=\frac{1}{(ab)^2}.\end{equation}

当たり前ですが,bcacの順番を入れ換えた3つ組(ac,bc,ab)でも逆ピタゴラス数になります。お好きな方でどうぞ。

当初は解を一つ見つけるだけでよかったのですが,ピタゴラス数は無限に存在するので実質無限個見つけちゃいました。やったね!


ピタゴラスの定理

ピタゴラス数といえばピタゴラスの定理ピタゴラスの定理といえば直角三角形ですよね。先ほど述べたように,逆ピタゴラス数はピタゴラス数と密接に関係することが分かりました。

実は逆ピタゴラス数が満たす式にも幾何学的意味があります。いきなり定理を紹介してもいいのですが,なんでもないような数式に意味を見出すプロセスを味わって頂きたいので,結論は後回しにしたいと思います。

例えるなら…料理の写真をSNSに投稿してももちろんいいんだけど,料理の過程を動画にしたものも面白いでしょ?



ということで今回は,

abを辺の長さと信じて止まない一般男性(大蛇丸ピタゴラスの定理で,

優勝していくことにするわね…(元ネタをご存知ない方はコチラ



まずはじっくりと通分するわね…
\begin{equation}
\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{a^2+b^2}{(ab)^2}
\end{equation}ここで,c=\sqrt{a^2+b^2}とおけば,直角を挟む2辺がabの直角三角形と,何か関係ありそうな気がするわね…
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cは潜影蛇手ならぬ,潜 影 斜 辺

このとき,
\begin{equation}
\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{c^2}{(ab)^2}=\frac{1}{d^2}
\end{equation}をみたす数d>0
\begin{equation}
d=\frac{ab}{c}
\end{equation}となるわね…

このd幾何学的意味を見出せるかしら…?

「辺×辺÷辺」という形なのでdも辺と思うことができるわね…

そして,d=\frac{ab}{c}ということは,dcをかければabになるわね…
Y.A.Y.(やだぁ 当たり前じゃない やだぁ)

ところで,abは縦の長さがa横の長さがbの長方形の面積と思うことができて,\dfrac{ab}{2}なら三角形の面積と思うことができるわね…?

それではdcをかけてabを作るわね…

そして半分に割って\dfrac{cd}{2}=\dfrac{ab}{2}にするわよ…

ここでcを 底 辺 蛇 手,高さがdの三角形の面積は\dfrac{cd}{2}になるわね…

また,直角を挟む2辺がabの直角三角形の面積は\dfrac{ab}{2}になるわね…



ということで,
dcを底辺としたときの三角形の高さ」とみなせば 完 成 ね…!!

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はい,エドテン



っておい!
それ…「おうち数学」やなくて「大蛇(おろち)数学」やないかーい!

…ノリツッコミがウマすぎて,ウマになったわね(しつこい)


注意 この優勝(説明)は「\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{d^2}をみたすならば,dは直角をはさむ辺の長さがabの直角三角形の斜辺からの高さに等しい」ことの証明なので,今から述べるピタゴラスの定理になります。しかし,同値変形で逆から辿れることに気をつければ,逆ピタゴラスの定理の証明を完成させることができます。なんでこんなややこしいことをしたのかというと,最初に書いた通り,数式から幾何学的意味を見出すプロセスを味わってほしかったからです。そもそも証明じゃなくて「優勝」としか書いてないですし(優勝って何)。

色々ありましたが,定理のご紹介です。

直角三角形の直角をはさむ辺の長さをabとし,斜辺からの三角形の高さをdとすると,
\begin{equation}
\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{d^2}
\end{equation}が成り立つ.


ピタゴラスの定理を使えば,命題1を図形的に示すことができます。

まず,斜辺をc,残りの2辺をabとなる直角三角形を用意します(abcピタゴラス数)。このとき,斜辺からの三角形の高さをdとすると,逆ピタゴラス数の定理より\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{d^2},すなわちd=\frac{ab}{c}となります。dは整数とは限らないので,三角形を辺々c倍して相似拡大してあげましょう。
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これなら(ac,bc,dc)はすべて自然数となるので,逆ピタゴラス数が得られました。


ピタゴラス数の決定

命題1によって「ピタゴラス数を用いれば」逆ピタゴラス数を得られることが分かりました。しかし,「ピタゴラス数を用いずに」逆ピタゴラス数を作れるかどうかはまだ分かりません。ピタゴラス数とは無関係に逆ピタゴラス数を作ることはできるのでしょうか?

任意の逆ピタゴラス(x,y,z)に対してd=\gcd(x,y,z)とし,(x,y,z)=(dx_1,dy_1,dz_1)とおくと

\begin{align}
\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{z^2}&\iff \frac{1}{(dx_1)^2}+\frac{1}{(dy_1)^2}=\frac{1}{(dz_1)^2}\\
&\iff \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{y_1^2}=\frac{1}{z_1^2}
\end{align}

となるので,ピタゴラス数は互いに素な逆ピタゴラス数の自然数倍によって決定されます。そこで,\gcd(x,y,z)=1となる逆ピタゴラス(x,y,z)原始逆ピタゴラスと呼ぶことにします。互いに素なピタゴラス数を原始ピタゴラスと呼ぶのと同じノリです。


今から示す定理の証明が若干長いので結論から言ってしまいますと,原始逆ピタゴラス数は命題1のような形しかありません。へぇ~

定理1(原始逆ピタゴラス数の特徴づけ)
(x,y,z)原始ピタゴラス数である\iffある原始ピタゴラス(a,b,c)を用いて(x,y,z)=(ac,bc,ab)と表せる.

この定理を証明するために,次の補題を用います。

abckを整数とする.

\begin{align}
&\gcd(a,c)=1,\gcd(b,c)=1\iff\gcd(ab,c)=1\tag{1}\label{1}\\
&\gcd(a,b)=\gcd(a-kb,b)\tag{2}\label{2}
\end{align}

\eqref{1}は互いに素な整数に関する性質で,\eqref{2}はユークリッドの互除法に関係する補題です。これらは証明せずに使っていこうと思います。

次の補題は原始ピタゴラス数に関する基本的性質です。

a^2+b^2=c^2をみたす自然数の組(a,b,c)に対して

\begin{equation}
\gcd(a,b,c)=1\iff\gcd(a,b)=1, \gcd(b,c)=1, \gcd(a,c)=1
\end{equation}

証明
(\Leftarrow)の方は明らかなので(\Rightarrow)の対偶を示す.
abが互いに素でないと仮定する.このときabに素因数pが存在するのでa=pa_1b=pb_1とおくとc^2=p^2(a_1^2+b_1^2)となる.よって,pc^2の約数であるが,p素数なのでpcの約数である*1.よって,abcは公約数pをもつので,互いに素でない.

bcが互いに素でない場合,acが互いに素でない場合についても同様に示せる.■



以上の補題を踏まえて,定理を証明してみましょう!

定理1の証明
[\Rightarrowの証明] (x,y,z)を原始逆ピタゴラス数とすると
\begin{equation}
\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{z^2}
\end{equation}であるから
\begin{equation}
(yz)^2+(xz)^2=(xy)^2
\end{equation}となる.ここでc=\gcd(x,y)x=acy=bcとおくと
\begin{equation}
z^2(a^2+b^2)=c^2(ab)^2\tag{3}\label{a}
\end{equation}となる.(いい予感がしますね…!)

仮定より\gcd(x,y,z)=\gcd(ac,bc,z)=1なので,czは互いに素である.よって\eqref{1}よりc^2z^2は互いに素であるから,\eqref{a}によりa^2+b^2c^2の倍数であり,(ab)^2z^2の倍数である.(余計なお世話ですが,4m=9nのとき,4と9は互いに素なのでmは9の倍数,nは4の倍数になるのと同じ議論をしています)

次に,a^2+b^2(ab)^2が互いに素であることを示そう.abが互いに素であるから
\begin{align}
\gcd(a^2+b^2, b)&=\gcd(a^2, b)=1,\\
\gcd(a^2+b^2, a)&=\gcd(b^2, a)=1
\end{align}が成り立つ(等号は順に\eqref{2},\eqref{1}を利用している).\eqref{1}により\gcd(a^2+b^2, ab)=1,つまり\gcd(a^2+b^2, (ab)^2)=1が示された.

よって,\eqref{a}によりc^2a^2+b^2の倍数であり,z^2(ab)^2の倍数であることが分かる.

以上より,a^2+b^2=c^2z=abが得られる.また,(a,b,c)ピタゴラス数であり,abは互いに素であるから(a,b,c)は原始ピタゴラス数である.したがって,原始ピタゴラス(a,b,c)を用いて(x,y,z)=(ac,bc,ab)と表すことができた.



[\Leftarrowの証明] 原始ピタゴラス(a,b,c)を用いて(x,y,z)=(ac,bc,ab)と表せたとすると,
\begin{equation}
\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2(ab)^2}=\frac{1}{(ab)^2}=\frac{1}{z^2}
\end{equation}であるから(x,y,z)は逆ピタゴラス数である.あとは原始的であることを示せばよい.

(a,b,c)は原始ピタゴラス数であるから\gcd(a,b)=1.よって,
\begin{align}
\gcd(ac,bc,ab)&=\gcd(\gcd(ac,bc),ab)\\
&=\gcd(c\gcd(a,b),ab)\\
&=\gcd(c,ab)
\end{align}ここで,\gcd(c,a)=\gcd(c,b)=1なので\eqref{1}より\gcd(c,ab)=1.したがって\gcd(x,y,z)=\gcd(ac,bc,ab)=1が示された.■



仕上げに入ります.自然数の組(a,b,c)が原始ピタゴラス数であることは,互いに素であり,どちらか一方が偶数となる自然数m > nを用いて
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
a\\
b\\
c
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
m^2-n^2 \\
2mn \\
m^2+n^2
\end{pmatrix}
\end{equation}と表せることと同値でした(ただし,abのどちらか一方は偶数なので,bを偶数とした場合の表示です)。これと定理1の合わせ技によって原始逆ピタゴラス数を決定することができます。

定理2(原始逆ピタゴラス数の決定)
自然数の組(x,y,z)原始ピタゴラス数である\iff互いに素であり,どちらか一方が偶数となる自然数m > nを用いて
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
(m^2-n^2)(m^2+n^2)\\
2mn(m^2+n^2)\\
2mn(m^2-n^2)
\end{pmatrix}
\end{equation}と表せる.

よっしゃー!これで完全決着!!!


おうち数学のための類似問題

おうち数学の時間が余っている方のために類似問題を置いておきます。同じように類推・証明ができるのでぜひやってみてください。

問題
(1) 互いに素な自然数の組(x,y,z)のうち
\begin{equation}
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}
\end{equation}をみたすものをすべて求めなさい.
(2) n\ge 3とする.
\begin{equation}
\frac{1}{x^n}+\frac{1}{y^n}=\frac{1}{z^n}
\end{equation}をみたす自然数の組(x,y,z)存在しないことを示しなさい.必要であれば,フェルマーの最終定理を用いてもよい.

この問題が解ければ
\begin{equation}
x^n+y^n=z^n\quad(n\in\mathbb{Z})
\end{equation}の自然数解の分類は完璧ですね!

何か大事なものをすっ飛ばしている気がするけど…ま,いっか(よくない)

thank Q for rEaDing.φ(・▽・ )





*1:pを素数としたとき,pはabの約数ならばpはaの約数またはbの約数である.