乃木坂46に同じ誕生日のペア？確率は？近似値は？テイラー展開で近似する方法

こんにちは！

皆さんはアイドルに興味ありますか？？？

私は正直そんなに詳しい訳ではないのですが…(;´･ω･)

ネットニュース等で知っているアイドルが卒業すると聞くと

何だかショックですよね。

さて、今日はアイドルの中でも「乃木坂46」について書きたいと思います！

突然ですが、乃木坂46の中に同じ誕生日のペアがいるかどうか知っていますか？

1年は365日です。40人程度のグループで同じ誕生日がいるかどうか、気になりませんか？？？

今日はその辺について調べてみたいと思います！！！

乃木坂46の中に同じ誕生日のペアはいる？AKB48は？

乃木坂46の公式サイトによると、2018年9月24日の時点で40人のメンバーがいます*1。

そして、メンバー紹介（生年月日順）で実際に同じ誕生日のペアがいるかどうかを調べてみました。

そしたらなんと、

生田絵梨花　1997年1月22日
新内眞衣　1992年1月22日

秋元真夏　1993年8月20日
白石麻衣　1992年8月20日

の2ペアが見つかりました！

また、AKB48には2018年9月24日の時点で

　チームA　12人
　チームK　13人
　チームB　15人

の3チームだけで40人います*2。

こちらも同様に、AKB48公式サイト | メンバーのページで、同じ誕生日のペアがいるかどうかを調べてみると…！

藤田奈那　1996年12月28日　チームK
大家志津香　1991年12月28日　チームB

湯本亜美　1997年10月3日　チームK
高橋朱里　1997年10月3日　チームB

こちらも2ペア見つかりました！

これって偶然なのでしょうか！？

もっと詳しく調べてみましょう！

同じ誕生日のペアが存在する確率は？2ペアの場合も気になる！

同じ誕生日が1ペアいる確率は？

まずは「同じ誕生日が1ペアいる確率」がどれくらいなのか考えましょう(^-^)

これは「誕生日のパラドックス（Birthday paradox）」「誕生日問題（Birthday problem）」と呼ばれる有名な問題ですね。結論と証明をささっと述べておきます。

命題

1年は365日で，誕生日になる確率はどの日も $\dfrac{1}{365}$ とする． $n$ 人の中に同じ誕生日のペアが存在する確率を $p(n)$ とおくと
\begin{equation*}
p(n)=1-\dfrac{{}_{365}\mathrm{P}_{n}}{365^n}.
\end{equation*}

証明　 $n$ 人の誕生日は全部で $365^n$ 通りある．そのうち $n$ 人全員の誕生日が異なる場合の数は，365日の中から異なる $n$ 日を選んで $n$ 人に割り振ればよいので ${}_{365}\mathrm{P}_{n}$ 通りである．したがって， $n$ 人全員の誕生日が異なる確率は $\dfrac{{}_{365}\mathrm{P}_{n}}{365^n}$ であるから，求める確率は
\begin{equation*}
1-\dfrac{{}_{365}\mathrm{P}_{n}}{365^n}
\end{equation*}となる．■

そして， $n$ に具体的な数を代入することで次の結果が得られます :

系

$p(23)\approx 0.507$ （23人の中に同じ誕生日のペアが存在する確率は約50％）
$p(40)\approx 0.891$ （40人の中に同じ誕生日のペアが存在する確率は約90％）

f:id:corollary2525:20180924155534p:plain

ということで、約40人のアイドルが集まれば、その中に同じ誕生日のペアがいる確率は約90％であることが分かりました！

かなり高確率ですね！

同じ誕生日が2ペアいる確率は？

それでは、2人で1ペアとして、同じ誕生日が（少なくとも）2ペア存在する確率はどのくらいあるのでしょうか？

ネットで調べてみたのですが…残念ながら見つかりませんでした(-_-;)

難しい問題なんですかね…ちょっと考えてみましょう。

$n$ 人を同じ誕生日のグループに分け，各グループの人数を並べて表記したとき，同じ誕生日が2ペア作れないのは次の3通り :
(i)　 $(\underbrace{1,\ldots,1}_{n\text{人}})$ ，
(ii)　 $(2,\underbrace{1,\ldots,1}_{n-2\text{人}})$ ，
(iii)　 $(3,\underbrace{1,\ldots,1}_{n-3\text{人}})$ ．

(i) のとき
$n$ 人全員の誕生日が異なる場合なので，確率は $\dfrac{{}_{365}\mathrm{P}_{n}}{365^n}$ ．

(ii) のとき
まず，2人組の選び方は ${}_n\mathrm{C}_2$ 通り．2人組を1人とみなして $(n-1)$ 人の誕生日が異なる場合は ${}_{365}\mathrm{P}_{n-1}$ 通り．よって確率は $\dfrac{{}_n\mathrm{C}_2\cdot{}_{365}\mathrm{P}_{n-1}}{365^n}$ ．

(iii) のとき
(ii) と同様に確率を求めると $\dfrac{{}_n\mathrm{C}_3\cdot{}_{365}\mathrm{P}_{n-2}}{365^n}$ ．

以上より，求める確率は(i)，(ii)，(iii)で得られた確率を1から引けばよい．

命題

$n$ 人の中に同じ誕生日のペアが（少なくとも）2ペア存在する確率を $p_2(n)$ とおくと

\begin{equation*}p_2(n)=1-\dfrac{{}_{365}\mathrm{P}_{n}+{}_n\mathrm{C}_2\cdot{}_{365}\mathrm{P}_{n-1}+{}_n\mathrm{C}_3\cdot{}_{365}\mathrm{P}_{n-2}}{365^n}.\end{equation*}

補足　最初に言及すべきでしたが、 $n\geqq4$ の場合で考えています。ですが、この式に形式的に $n=2, 3$ を代入すると0になります。4人いなければそもそも2ペア作れないので $n=2, 3$ の場合も正しい値であることが分かります。

それでは $n$ に具体的な数を代入して計算してみましょう。

系

$p_2(36)\approx 0.501$ （36人の中に同じ誕生日のペアが2ペア存在する確率は約50％）
$p_2(40)\approx 0.621$ （40人の中に同じ誕生日のペアが2ペア存在する確率は約62％）
$p_2(54)\approx 0.905$ （54人の中に同じ誕生日のペアが2ペア存在する確率は約90％）

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したがって、約40人のアイドルが集まれば、その中に同じ誕生日のペアが2ペアいる確率は約62％であることが分かりました！

そこそこ起こり得る出来事でしたね。笑

近似値をテイラー展開で求めてみた！

ついでに小ネタを一つご紹介します。

$n$ 人の誕生日がすべて異なる確率
\begin{equation*}q(n):=\dfrac{{}_{365}\mathrm{P}_{n}}{365^n}\end{equation*}の近似値を求めましょう。

$q(n)=\dfrac{365}{365}\cdot\dfrac{364}{365}\cdot\cdots\cdot\dfrac{365-(n-1)}{365}$ の両辺に $\log$ をとると

\begin{align*}
\log q(n) &=\log\dfrac{365}{365}+\log\dfrac{364}{365}+\cdots+\log\dfrac{365-(n-1)}{365}\\
&=\sum_{k=1}^n\log\left(1-\dfrac{k - 1}{365}\right)\\
&\approx\sum_{k=1}^n\left(-\dfrac{k - 1}{365}\right)=-\frac{n(n-1)}{2\cdot365}.
\end{align*}

ただし、途中で次の近似を用いました :

命題

$|x|\ll 1$ のとき， $\log(1+x)\approx x$ ． f:id:corollary2525:20180924175317p:plain

これは， $\log(1+x)$ の原点におけるテイラー展開
\begin{equation*}\log (1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots\end{equation*}において，2次以上の項を無視することで得られます．

したがって、求める確率の近似値は

\begin{equation*}q(n)\approx e^{-n(n-1)/730}\end{equation*}

で求まることが分かります！

実際、 $n=40$ で比較してみると
\begin{align*}
\dfrac{{}_{365}\mathrm{P}_{40}}{365^{40}} &\approx 0.108\\
e^{-40\cdot39/730} &\approx 0.118
\end{align*}であり，0.01のズレしかありません。