Corollaryは必然に。

このブログは「コロちゃんぬ」の提供でお送りします

「足してA、引いてB」と「運命の赤い関数」

「足してA、引いてBになる2つの数」に関するお話の前編です。今回は「運命の赤い関数」を作ります。お楽しみに!

あと、今回は一度やってみたかった「対話形式」で書いてみました。



登場人物

マスマスさん:数学を学ぶ男子大学生。コロリの家に居候している。最近、病的な関数に興味をもっている。

コロリ:数学が好きなゆるキャラ。数学をマスマスさんに教わっている。数学のあとに舐めるハチミツが生きがい。


第1章「足してA、引いてBって?」

コロリ「マスマスさんw 今日は大学行かないの?w」

マスマス「うん、大学はもう授業がないんだ。試験も終わって暇だから、病的な関数を作って遊んでいたんだ」

コロリ「え?何それw 教えて教えてw」

マスマス「ん~しょうがないな~。…じゃあね、まずはこんな問題を考えてみよっか?」


問題
足してA,引いてBになる2つの数,つまり\begin{cases}
x+y=A\\
x-y=B
\end{cases}を満たすxyを求めなさい.


コロリ「マスマスさんw これって連立方程式?簡単だよw」

マスマス「じゃあ解いてごらん。文字がたくさんあるけど、求めたいものは何なのかを忘れないようにね。xyを求めたいから、答えは
\[x=(AとBの式),y=(AとBの式)\]という形で答えるんだよ」

コロリ「うん、わかったw えっと、この場合、上の式と下の式を足せばyが消えるね。
\[2x=A+B\]になったから、
\[x=\dfrac{A+B}{2}\]かな?」

マスマス「正解!」

コロリ「よぅしw 次はこれを、上の式に代入するぞお。
\begin{align*}
\dfrac{A+B}{2}+y &=A &(x=\frac{A+B}{2}を代入した)\\
y &=A-\dfrac{A+B}{2} &(\frac{A+B}{2}を移項した)\\
y &=\dfrac{2A-(A+B)}{2} &(通分した)\\
y &=\dfrac{A-B}{2} &(計算した)
\end{align*}どう?合ってる?マスマスさん?」

マスマス「うん!大正解!」

コロリ「おぅw やったーwww」

マスマス「実はね、x=\dfrac{A+B}{2}を代入するよりも
\begin{cases}
x+y=A\\
x-y=B
\end{cases}に戻って、(上の式)-(下の式)を計算したほうが簡単だったんだ」

コロリ「えぇ?あっ、本当だw
\[2y=A-B\]になるから、
\[y=\dfrac{A-B}{2}\]となった!」

マスマス「そうそう。いつでも『どうすればラクして計算できるかな?』という気持ちを忘れずにね。それはともかく、今の計算で次のことが分かったね」


足してA,引いてB
\frac{A+B}{2}\frac{A-B}{2}は足してA,引いてBになる.つまり,\begin{cases}
\dfrac{A+B}{2}+\dfrac{A-B}{2}=A\\
\dfrac{A+B}{2}-\dfrac{A-B}{2}=B.
\end{cases}


コロリ連立方程式に代入したんだね。なるほどねぇw」



第2章「運命の赤い関数」

コロリ「で、これがどうかしたの?w」

マスマス「突然だけど、コロリは『運命の赤い糸』って知ってる?」

コロリ「え、知ってるよw 人は運命の人と見えない糸で結ばれてるという言い伝えでしょ?見えないのに赤いんだよねw 赤外線かなw」

マスマス「でね、今日は足してA、引いてBを使って、『運命の赤い糸』を作るよ!」

コロリ「えぇっ!そんなことできるの?」

マスマス「『運命の赤い関数』と言ったほうが正確かな。要するに、こんな関数のことだよ」

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コロリ「うぉう、ハートができてる!すごいよマスマスさん!」

マスマス「よし、コロリも一緒に作ろう!」

コロリ「やったぁーw」



マスマス「まずはハートの上の部分の関数を作ろう。」

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マスマス「コロリは何に見える?」

コロリ「ん~、円がふたつかなぁ~」

マスマス「いいねぇ!じゃあ円を考えよっか。円の方程式は x^2+y^2=r^2で表せたね。これをyについて解くと
\[
y=\pm\sqrt{r^2-x^2}
\]となるよ」

コロリ「ふむ。x^2を移項して、ルートをとったんだね」

マスマス「そうそう。で、今は円の上側の式が欲しいからプラスの方を選ぼう。半径はr=1としておくと\[y=\sqrt{1-x^2}\]という式になるね。グラフにするとこうなるよ」

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コロリ「ふむふむ」

マスマス「そして、x軸方向に1だけ平行移動させるよ。これはxの部分をx-1に書き換えればいいんだ。すると、
\[
y=\sqrt{1-(x-1)^2}
\]という式になるね」

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コロリ「ん~なるほどぉ。じゃあもう一つの円はx軸方向に-1だけ平行移動させればいいんだぁね。ということは
\[
y=\sqrt{1-(x+1)^2}
\]がもう一つの円の方程式だね?マスマスさん!」

マスマス「うん!それでもいいけど、
\[
y=\sqrt{1-(|x|-1)^2}
\]と書くだけで円を2つとも表せるんだ」

コロリ「えぇ?本当かなぁ?」

マスマス「場合分けして考えてみよっか。x>0のときは絶対値はそのまま外れて
\[
y=\sqrt{1-(x-1)^2}
\]という式になるよね。x<0のとき、絶対値を外すときはマイナスが付くけど、
\begin{eqnarray*}
y&=&\sqrt{1-(-x-1)^2}\\
&=&\sqrt{1-(x+1)^2}
\end{eqnarray*}となるよ」

コロリ「わ!?僕の作った式とおんなじだぁ!」

マスマス「ということで、ハートの上の部分ができたね。a(x)と名付けておこう」

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マスマス「次はハートの下の部分を考えよう」

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コロリ「うーん。難しいなあ」

マスマス「難しかったら別のにするかい?例えば、こんなハートもかわいいと思うよ」

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コロリ「おお!これならできそうw えっと、この場合は、半径2の円がいいのかな?」

マスマス「うんうん」

コロリ「半径2の円の方程式はx^2+y^2=4だから、
\[y=\pm\sqrt{4-x^2}\]となって、今は円の下側を使いたいから\[y=-\sqrt{4-x^2}\]かな?」

マスマス「うん。合っているよ!じゃあこの関数をb(x)と名付けようか」

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コロリ「でも、これを作ってこのあとどうするの?『運命の赤い糸』ホントに作れるの?」

マスマス「ここで足してA、引いてBが活躍するんだ!コロリにちょっと質問するけど、
\[\dfrac{a(x)+b(x)}{2}+\dfrac{a(x)-b(x)}{2}\]は何になるかわかるかい?」

コロリ「ええと、このまま足せばいいのかな?
\begin{align*}
\dfrac{a(x)+b(x)}{2}+\dfrac{a(x)-b(x)}{2} &=\dfrac{a(x)+b(x)+a(x)-b(x)}{2}\\
&=\dfrac{2a(x)}{2}\\
&=a(x)\end{align*}あっ、a(x)になったw」

マスマス「そうだね。これは、足してA、引いてBの『足してA』の部分なんだ。A=a(x)B=b(x)として書き換えたものを書くとこうなるよ」


足してa(x),引いてb(x)
\begin{cases}
\dfrac{a(x)+b(x)}{2}+\dfrac{a(x)-b(x)}{2}=a(x)\\
\dfrac{a(x)+b(x)}{2}-\dfrac{a(x)-b(x)}{2}=b(x)
\end{cases}


コロリ「ここで足してA、引いてBを使うんだぁね」

マスマス「最後に、もうひと工夫をするよ。
\[
F(x)=\dfrac{a(x)+b(x)}{2}+c(x)\cdot\frac{a(x)-b(x)}{2}
\]という関数F(x)を考えよう。ここで、もしc(x)=1だったら『足してA』の形に、c(x)=-1だったら『引いてB』の形になるのは分かるかい?

コロリ「えっと…うん、確かに!」

マスマス「コロリ、最後の質問!『1になったり、-1になったりする関数』って思いつく?」

コロリ「『1になったり、-1になったりする関数』かぁ…。あっ!分かった!\sin xだね!」

マスマス「そう!その通り!もちろん\cos xでもOKだよ。ということで、『運命の赤い関数』の完成!」


運命の赤い関数(?)
a(x)=\sqrt{1-(|x|-1)^2}b(x)=-\sqrt{4-x^2}とする.このとき,
\[
F(x)=\dfrac{a(x)+b(x)}{2}+\sin x\cdot\dfrac{a(x)-b(x)}{2}
\]は運命の赤い関数である(?)


コロリ「マスマスさん!早くグラフをみせてよ!」

マスマス「数式を書いてるからちょっと待っててね…はい!できました!」


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コロリ「な、なにこれぇ!?マスマスさんの嘘つき!全然ハートになんかなってないじゃないか!」

マスマス「あっはは、ごめんごめん。\sin xの周期をもっと短くしないと駄目だったね。\sin xの中身を50xくらいに書き換えてっと」


運命の赤い関数
a(x)=\sqrt{1-(|x|-1)^2}b(x)=-\sqrt{4-x^2}とする.このとき,
\[
F(x)=\dfrac{a(x)+b(x)}{2}+\sin50x\cdot\dfrac{a(x)-b(x)}{2}
\]は運命の赤い関数である.
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コロリ「うわw すごい!ハートになってるw」

マスマス「でしょ?ちなみに、僕がさっき作ったハートの関数の下側は
\[b(x)=\sin^{-1}(|x|-1)-\dfrac{\pi}{2}\]として作ったんだ。\sin^{-1}x\dfrac{1}{\sin x}のことじゃなくて、\sin x逆関数{\rm arcsin}\;xのことだよ」

コロリ「ふーん。よくわかんないからまた今度教えてw このハート、コロネに見せてくるw じゃあね!マスマスさん!」

マスマス「えっちょまっ!…ああ、行っちゃった。本当はこっちを見せたかったんだけどなあ」

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マスマス\sin xの代わりに、\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)を使った『運命の赤い関数』。F(0)=-1と別途で定義してあげれば*1、『弧状連結ではない連結な関数』になる。連続にはなれない。でも連結にならなれる。計算してないけど、糸の距離も無限だろう。ああ…こんなにも愛しくて切ない関数…君に出会えてよかった…!」



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マスマス「おっと失礼。そろそろお別れの時間だね。それではこの次も~?

つくってマスマス!

バイバ~イ!」



次回予告

『つくってマスマス』、次回作はあるんですかねぇ…?

対話形式とは限りませんが、近日、「足してA、引いてB」の後編をお送りします。目標は一週間後!

追記(2017/2/9)
「運命の赤い関数」でTwitterで検索したところ、私よりもずっと先に、数学的にも同じ手法で「運命の赤い関数」を構成している方がいらっしゃいましたのでご紹介します。


ちなみに、「運命の赤い関数」という言葉は、一応私が考えたものでして、私のもう一つのくだらないブログで、タイトル名にしたことがあります(ブログの内容は「運命の赤い関数」と関係ないので読まなくてよいです)。
corollary2525.blog.jp

thank Q for rEaDing.φ(・▽・ )

*1:ハートの中心部分の「0から-3」の間であればなんでも大丈夫です。