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Corollaryは必然に。

数学を自明な帰結にしてやんよ(五七五)

ある問題と鳩の巣原理

この問題を解くことが今日のテーマです。

問題
1辺が2の正方形の内部および境界上に9つの点をとる。このうちの3点を結んで三角形を作るとき,少なくとも一つの三角形の面積は\frac{1}{2}以下であることを証明しなさい。


先にネタバレしてしまうと、鳩の巣原理によって証明できます。

※鳩の巣原理を知らない方は次のブログで5秒で分かります。
motcho.hateblo.jp

証明

1辺が2の正方形を図のように1辺が1の正方形に分割する.

f:id:corollary2525:20160824173802g:plain
この4つの領域に9つの点をとったとき,鳩の巣原理により3つの点をもつ領域が存在する.

1辺が1の正方形の領域内でできる三角形のうち,面積が最大のものは\frac{1}{2}である.したがって,この3点でできる三角形の面積は\frac{1}{2}以下である.■



鳩の巣原理を使った、とてもスッキリした証明だと思います。でも、ひとつだけ気になる点があります。

もし、その3点が一直線上にあったら、それ三角形って呼べんの?

「一直線上の3点」を「高さが0の三角形」とみなすのであれば面積は0、つまり\frac{1}{2}以下だから問題ないけど、そうみなさないのであればこの証明、不十分なのでは?


証明の続き

3点A,B,Cが一直線上にある場合の証明の続きを考えてみます。もう少しシンプルな解答がありそうな気もするけど、僕はこう考えました。


証明の続き(3点が一直線上にある場合)

\rm{A}(0,a)(ただし1\le a\le2),\rm{B}は線分\rm{AC}の中点,\rm{C}(1,2)の場合を考える.
f:id:corollary2525:20160824183558p:plain

このとき,\rm{D}(1,0)を考えると,\triangle\rm{ABD}=\triangle\rm{BCD}=\frac{1}{2}となるので,面積がそれよりも大きくなるための範囲は次の赤い領域である.
f:id:corollary2525:20160824183604p:plain
※点線部分は直線\rm{AC}と平行


この領域の中に残りの6点をとったとき,面積が\frac{1}{2}以下になる3点があるのは明らかである.■




ちなみに,点\rm{A}(0,a)を動かすとこんな感じ
f:id:corollary2525:20160824183610g:plain




別解: トリビアルな反例

めでたしめでたしと言いたい所ですが、この問題、実は反例を挙げることができます。「えぇ?証明したのに反例があるの?」と思った方、落ち着いて落ち着いて。

あの問題を同値な命題に言いかえます。まず、3点を選ぶときに三角形ができないといけないので、「一直線上にない」という条件を明記します。次に、否定命題を述べやすくするために「任意の」と「ある」を意識して書きます。この2点に注意して、あの問題を言いかえるとこうなります。

命題(問題改)
一辺が2の正方形の内部の任意の異なる9つの点に対して,ある3点が存在し,その3点は一直線上にない,かつその3点でできる三角形の面積が\frac{1}{2}以下である.

かなり冗長になってしまいましたが、否定命題を正確に書けるようになりました。実際書いてみると…

命題(問題の否定)
一辺が2の正方形の内部のある異なる9つの点が存在し,任意の3点に対して,その3点が一直線上にないならば,その3点でできる三角形の面積が\frac{1}{2}より大きい

もっと分かりやすく書くと…

一辺が2の正方形の内部には次を満たす9つの点が存在する:

  • 一直線上にない任意の3点に対して,その3点でできる三角形の面積が\frac{1}{2}より大きい.


さっき証明したので間違っているように見えますが、自明な反例がありません?







はい、9つの点を同一直線上に取ればいいんですねー
f:id:corollary2525:20160824203752p:plain

これなら,そもそも三角形ができないんだから真になるしかないってことです。空虚な真(Vacuous truth)と言ったりもしますかね。詳しく知りたい方は英語のWikiが参考になるかも。

Vacuous truth - Wikipedia, the free encyclopedia


ちなみに、この反例は「一辺が2の正方形」「9点」「三角形の面積が\frac{1}{2}以下(orより大きい)」の条件とは無関係なので、次のコロラリーを作れたりもします。

\mathbb{R}^2の2つ以上の点をもつ凸集合に対し,次を満たすような非可算無限個の点が存在する:

  • 任意の\varepsilon>0と一直線上にない任意の3点に対して、その3点でできる三角形の面積が\varepsilonより小さい


証明
何かテキトーに2点とって線で結んだときの点全体の集合でOK.■

もっともっと一般化したい人は各自でやってください。


まとめ

訳わかんなくなったかもしれないですが、二言でまとめると、

  • 9つの点を一直線上におけば、問題の反例になる。
  • このトリビアルな反例以外なら、問題は(鳩の巣+αで)証明できる。


まあ、「高さ0の三角形」を認めてしまえばこんな面倒なことにならなかったんですけど。ちなみにですがハトは漢字で「鳩」ですが、「九」は鳴き声「クゥ」からきてるらしい(鳩のWikiより)。へぇ!


おまけ「私と小鳩と巣ぅと」

一辺2センチ正方形
あなたが9点打ち込めば、
ある三角の面積が
1/2以下なるけれど、
直線上にある点で
三角形はできないよ。

小鳩と巣ぅと、それから私、
みんなちがって、おんらいん。


thank Q for your rEaDing.φ(・▽・ )