アニメ映画『時をかける少女』の数学Ⅱの小テストを解読してみた

細田守監督のアニメ映画『時をかける少女』公開10周年記念で、~~７月にイベントが行われる模様。~~※すでに終了しています
www.cinemacafe.net

好きな作品なので、録画したものを何度も見ています。

さっそく本題ですが、序盤で主人公たちは小テストを受けています*1。

「おお、数学じゃん。どんな問題なんだろう？」と思って
　時をかける少女　数学　テスト
などで検索してみたけど、全然ヒットしない。まじかよ！10年経ってるのに。

「じゃあ解読すっか！」
ということで、解読しました。

『時をかける少女』で真琴が最初9点だった小テストを再現しました。
問3 (2)の解読が難しかった。http://t.co/qIqg8Rg9Ez
— コロちゃんぬ (@corollary2525) 2015年7月17日

ただ、この投稿は『時をかける少女』がテレビ放送された後の深夜に投稿したので、フォントの再現まで配慮が行き届いていません。
色々試した結果、この小テストが「すべて同じフォントで統一されている」という仮定の下では
　“Yu Gothic UI Semilight”
が一番近かったです*2。
その他、文字位置の微調整を施したものをこちらに再投稿します*3。
Dropbox - tokiwokakerusyojo.pdf - Simplify your life

※ちなみに制限時間ですが、本編では黒板に8:55～9:35と書かれてあります。この問題量で40分！？裏面に問題が無いことも本編で確認済み。さすがに長すぎぃ！

答案から問題を確定させる

さあ、ここから先は、小テストの解読について解説していこうと思います。

解読方法ですが、「20インチのテレビ」で「金曜ロードSHOW！の録画データ」を部屋を明るくして「近くで」見ました。

では、小テストのシーンをもう一度。

数学Ⅱの小テストであることはすぐ分かります。これを考慮に入れて録画データを凝視すると...

問1　 $\theta$ が第?象限の角であって， $\text{???}\theta=\dfrac{\text{分}}{\text{数}}$ であるとき， $\text{???}\theta$ ， $\text{???}\theta$ を求めよ。

問2　 $\text{???}\theta=-?$ のとき， $\text{???}\theta$ ， $\text{???}\theta$ の値（以降、真琴の手で見えない

問3　次の等式を証明せよ。
　　 $\dfrac{\text{???}\theta}{1+\text{???}\theta}=\dfrac{1-\text{???}\theta}{\text{???}\theta}$

三角関数であることは分かりましたが、 $\sin\theta$ ， $\cos\theta$ ， $\tan\theta$ の違いに確信を持てず。「正確に解読すんのは無理なのかぁ」と一瞬諦めましたが、小テストのシーンはここだけではありません。タイムリープを取得した真琴は過去に戻って100点を取っています。そのシーンがコチラ

このシーンの2秒前はもっとクローズアップしているから、問1、問2の真琴の答案が読めるぞぉ！答案のおかげで問題を確定させることが可能です。例えば、問1の答案の最初の一行だけ引用すると...

$\sin^2\theta=1-\cos^2\theta=1-\left(-\dfrac{3}{5}\right)^2=\dfrac{16}{25}$ 　 $\theta$ が第3象限の角であるから $\sin\theta<0$

「第3象限」の部分は赤ペンと重なって見えにくかったですが、 $\cos\theta<0$ と $\sin\theta<0$ が分かっているので、第3象限が確定しますね。よって、問1は

問1　 $\theta$ が第3象限の角であって， $\cos\theta=-\dfrac{3}{5}$ であるとき， $\sin\theta$ ， $\tan\theta$ を求めよ。

でした。

同様に、問2に書いてある答案の1行目は

$\cos^2\theta=\dfrac{1}{1+\tan^2\theta}=\dfrac{1}{1+(-3)^2}=\dfrac{1}{10}$ から $\cos\theta=\pm\sqrt{\dfrac{1}{10}}=\pm\dfrac{1}{\sqrt{10}}$

とあるので、問2は

問2　 $\tan\theta=-3$ のとき， $\sin\theta$ ， $\cos\theta$ を求めよ。

だと分かります（ $\sin\theta$ ， $\cos\theta$ の順番もぼんやり認識できました）。

問3は少し見づらかったですが、+と-、sとcの判別はなんとかできました。一行目だけ引用すると...

\[\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\dfrac{\sin\theta(1-\cos\theta)}{(1+\cos\theta)(1-\cos\theta)}=\dfrac{\sin\theta(1-\cos\theta)}{(1-\cos^2\theta)}\]

と書いてありました。2行目は分母を $\sin^2\theta$ にして、 $\sin\theta$ で割った形跡が見られるので、問3の証明問題は

問3　次の等式を証明せよ。
　　 $\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\dfrac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$

で間違いないでしょう。

隠されし問3 (2)

解読完了！と思ったのもつかの間。もう一度画像を見直してみると

なんだこの答案？問題1つにマル2つ？問2は解が2つあるからマルも2つあっていいけど。

まさか...

これか！？これが(2)なのか！？

あっ、そういえば最初のシーンで...

この部分よく分からなかったけど、(1)のことだったのか！

ということで隠されし問3 (2)を完全解読すべく、改めて問題を凝視。しかし、カメラが引きすぎてザックリとしか分かりませんでした。

問3　次の等式を証明せよ。
　　(2) $\left(\text{???}\theta \pm \dfrac{\text{?}}{\text{???}\theta}\right)\text{???}\theta=\dfrac{\text{?}}{\text{???}\theta}(\text{???}\theta\pm \text{???}\theta)$

「2乗の有無」「プラスマイナス」「イコールの場所」「括弧の閉じる場所」が不安です。僕が見えていないだけで、かけ算ではなくて $\pm$ の符号がある可能性も捨てられない（フラグ）。要するに、ほとんど分からない。

次に、解読の鍵となる真琴の答案ですが、これもはっきり見えないし、その上見切れています。年度初めの視力検査以上に全力で見ましたが、これが限界でした:

うん、 $\cos^2\theta$ しか分かんない。2乗は付いていない気もする。僕の視力を信じて、2乗はあるものと仮定して議論します（後にどちらが正しいのか分かります）。

そして、これだけの概形が分かれば、意外と予想が立てられます。

問3 (2)の問題が何なのか、よかったら皆さんも考えてみてください。

考える方がいましたら、問題の概形（青枠）はあてにしないほうがいいです（超重要）。

解き明かされし問3 (2)

まず、この式変形に注目します。

途中で分数になって、分数が消えています。三角関数で分数が出てくる公式として最初に思い浮かぶのは、 $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ ですね。僕にはこれを使って $\cos^2\theta$ を約分し、 $\sin^2\theta$ に変形したように見えます（唯一読めた $\cos^2\theta$ が読めなくても大丈夫だったっぽい）。
また、最初の問題の概形と照らし合わせて、これは分配法則で括弧を外す計算と考えて間違いないでしょう。

あと、不自然な空白からの不明瞭なこの部分：

恐らくですが、左辺の式変形が終わって、「……①」と書いたんだと思います。「……」は見えなかっただけかもしれないし、書いてないかもしれないけど。

ということで、問3 (2)の左辺はこうだったと予想します：

問3　次の等式を証明せよ。
　　(2) $\left(\cos^2\theta + \dfrac{1}{\tan^2\theta}\right)\tan^2\theta=\dfrac{\text{?}}{\text{???}\theta}(\text{???}\theta\pm \text{???}\theta)$

残りは右辺のみ。同様に、この部分↓も $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を使って計算したと思われます：

ここで、問題の概形（青枠の式）が正しいと仮定すると、分数式を含む式が2つあるはずなのに無い。最初の方に分数っぽいものは見えます。つまり、右辺の分数は括弧の式とかけ算するのではなく、足し算引き算の可能性が浮上します。しかし、仮に足し算となると、問題の数式に括弧をつける意味が無い。答案をみると、括弧を外す計算をしているように見える。

散々悩んだ結果、実はこうだったんじゃないか？という発想に至りました：

問3　次の等式を証明せよ。
　　(2) $\left(\cos^2\theta + \dfrac{1}{\tan^2\theta}\right)\tan^2\theta=\dfrac{\text{?}}{\text{???}\theta}\pm(\cos^2\theta\pm 1)\tan^2\theta$

これなら、答案の3行目の式変形は括弧を外す計算として辻褄が合います。これを仮定して計算していくと
$(\text{右辺})=\dfrac{\text{?}}{\text{???}\theta}\pm\sin^2\theta\pm \tan^2\theta\tag{★}$
となります。この式が左辺の計算結果であった $\sin^2\theta+1$ になればよいですね。
(★)を眺めていると $\dfrac{\text{?}}{\text{???}\theta}\pm\tan^2\theta=1$ だといいな～という欲求が湧いてきます。これはもう三角関数の相互関係 $1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$ を使わずにはいられません！よって