「数学デー」公式Twitterでは、その場で出た話題の写真を見ることはできますが、それに辿り着いたプロセスや証明などはその場でしか聞けません(ていうか、そういう話を聞いたり喋ったりするのが数学デー)。
「証明は滅びぬ、何度でもよみがえるさ」
とは言うものの(?)、自分で見つけた命題の証明は忘れないように残しておきたいものです。ということで、ある日僕が数学デーに持ち込んだバルス…じゃなくてパズルのお話です。
L型トロミノ並べ放題?
図のように正方形を3つ連結させてできる図形について考えます。
後で調べたら、この図形はL型トロミノ(L-tromino)と呼ばれるそうです*1。
この図形を2倍したものは元の図形でタイリングができます。
L型トロミノの大きさを(2倍せずに)固定して「大きさ1/2のL型トロミノで分割できる」と考えても構いません(むしろこっちの方が一般的?)。このように、「自身を自身と相似な図形で分割できる図形」をレプタイル(rep-tile)といいます。
ところで、ふと思ったんですけど…3倍した図形でも元の図形でタイリングできるんですかね?
よかったら考えてみてください。
実は…!
タイリングできるのかー。知らんかった。
じゃあ、4倍した図形ではどうなんでしょう?
ここで仮に、一辺の長さがnの正方形3つでできたL型トロミノを「大きさnのL型トロミノ」と呼ぶことにします。
大きさ4のL型トロミノは、少し工夫することで、大きさ1のL型トロミノでタイリングできることが分かります。
このタイリングは、まず大きさ4のL型トロミノを「大きさ2のL型トロミノを2倍した図形」だと思って分割します(実線)。すると、残り4個の図形は大きさ2のL型トロミノなので、タイリングが再利用できます(点線)。
この考え方を応用すれば、大きさ6のL型トロミノがタイリングできることも簡単に証明できますね。「大きさ3のL型トロミノを2倍した図形」だと思って分割し、残った4個の大きさ3のL型トロミノは、さっきタイリングできることを示したので、再利用すればいいのです。
ということは、奇数(あるいは素数)の大きさのL型トロミノがタイリングできることを証明さえできれば、すべての大きさのL型トロミノが大きさ1のL型トロミノでタイリングできることが証明できますね!
自分で見つけた成り立ちそうな定理を証明するの、わくわくします。
L型トロミノの性質とその証明
これから証明する定理を正確に述べます。
「これ、証明できるんですかね?」
「知らんけどとりあえずでやってみるか」
みたいなことを数学デーで話してたと思います。
で、皆さんと色々議論しながら、無事証明することができました。ありがとうございました。
証明には数学的帰納法を使いますが、今回は次のような形で使います:
まで正しいことを確認しなければならない所が今回のポイントです。そこに注目して証明をご覧ください。
証明
「大きさのL型トロミノは大きさ1のL型トロミノでタイリングできる」という命題をとおきます.
[1] が正しいことは明らかで,,が正しいことはすでに証明しました.
[2] に対して,,,…,が正しいことを仮定して,
が大きさ1のL型トロミノでタイリングできること(つまりが正しいこと)を示します.
nが偶数のとき
(は自然数)と表すと,次のようなタイリングができます:
ここで,大きさのL型トロミノが4つありますが,であるから仮定より大きさのL型トロミノは大きさ1のL型トロミノでタイリングできます.全体をみれば,大きさのL型トロミノは大きさ1の図形でタイリングできることになります.
よって,が偶数のときはは正しい.
nが奇数のとき
は偶数であるから,まずはこのように隙間なく埋められます:
ここで,であるから.つまり,上図に記した長さの線分がまだ存在することに注意します.
しかし,は奇数なのでは偶数です.したがって次のように隙間なく埋められます:
埋めていない部分の図形に注目すると,これは大きさのL型トロミノですね.
仮定より,埋めていない部分の図形は大きさ1のL型トロミノでタイリングできます.
よって,が奇数のときでもは正しい.
[1],[2]より,すべての自然数に対しては正しい.■
To be continued...?
無事に証明ができたので、この後僕は数学デー終了まで「ゆるくベーシック圏論を読む会」の方で活動してました(今、最終章を読んでるんでこっちもアツいんです)。
数学デー終了後、僕はいつものようにTwitterで #数学デーinN高 を見てたんですけど…
本日は、n倍の相似な図形を埋め尽くしたり、ソクラテスラで遊んだり、オリジナルのトランプゲームで遊んだり、リンク機構の話をしたり、ケーキを三等分したり、プログラミングをしたりしました。(キグロ)#数学デー #数学デーinN高 pic.twitter.com/axaV69NbsS
— 「数学デー」公式 (@sugaku_day) 2019年8月23日
紙面がレプタイルで埋め尽くされてる#数学デー#数学デーinN高 pic.twitter.com/ih1wc4yw8p
— 鯵坂もっちょ🐟 (@motcho_tw) 2019年8月23日
他のレプタイルでも証明されてる!?
なるほど、とりあえず
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型の図形も、同じ証明が適応できるみたいですね!興味深いです。同じ証明が適用できるレプタイルとできないレプタイルには共通な性質があったりするのかな?この続きは数学デーで話してみよう。
thank Q for rEaDing.φ(・▽・ )